Fonction exponentielle : propriétés, dérivée et équations

La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable sur ℝ qui vérifie deux conditions : exp’(x) = exp(x) et exp(0) = 1. Elle est donc égale à sa propre dérivée, une propriété qu’aucune autre fonction ne possède. On la note aussi e^x, avec e ≈ 2,718. Elle est strictement positive, strictement croissante, et transforme les sommes en produits : exp(a + b) = exp(a) × exp(b).

C’est quoi l’exponentielle, et à quoi ça sert ?

Une fonction égale à sa dérivée, c’est une fonction dont la vitesse de croissance est proportionnelle à sa propre valeur : plus elle est grande, plus elle grandit vite. C’est le comportement d’une population de bactéries ou d’un capital à intérêts composés.

Le même outil décrit les décroissances : la désintégration d’un noyau radioactif ou le refroidissement d’un café suivent des lois en e^(-kt).

Le lien avec la première est direct : une suite géométrique u_n = u_0 × q^n est la version « pas à pas » de l’exponentielle, qui en est la version continue. Tu retrouveras avec les suites numériques la même logique multiplicative.

Les propriétés à connaître

Propriétés algébriques (a et b réels, n entier) :

• exp(a + b) = exp(a) × exp(b)
• exp(-a) = 1 / exp(a)
• exp(a - b) = exp(a) / exp(b)
• exp(n × a) = (exp(a))^n
• exp(0) = 1 et exp(1) = e ≈ 2,718

Concrètement : e^5 × e^(-3) = e^2, e^7 / e^4 = e^3, et (e^2)³ = e^6.

Propriétés analytiques :

• exp(x) > 0 pour tout réel x : la courbe ne coupe jamais l’axe des abscisses.
• exp est strictement croissante sur ℝ, sa dérivée exp(x) étant positive.
• e^x tend vers +∞ quand x tend vers +∞, et vers 0 quand x tend vers -∞.

Dérivées : (e^x)’ = e^x, et plus généralement (e^u)’ = u’ × e^u. Cas courant : (e^(ax + b))’ = a × e^(ax + b), donc la dérivée de e^(3x) vaut 3e^(3x).

Pour résoudre des équations, la stricte croissance donne deux règles en or : e^A = e^B équivaut à A = B, et e^A < e^B équivaut à A < B. Exemple : e^(2x - 1) = e^(x + 3) donne 2x - 1 = x + 3, donc x = 4. Et e^x = k n’a de solution que si k > 0.

Exemple rédigé étape par étape

Partie 1 — une équation. Résous e^(2x) - 3e^x + 2 = 0.

Étape 1 — changer d’inconnue. On pose X = e^x, avec X > 0. Comme e^(2x) = (e^x)², l’équation devient X² - 3X + 2 = 0.

Étape 2 — résoudre le second degré. Δ = (-3)² - 4 × 1 × 2 = 9 - 8 = 1. Les racines sont X = (3 - 1)/2 = 1 et X = (3 + 1)/2 = 2, toutes deux strictement positives.

Étape 3 — revenir à x. e^x = 1 donne x = 0 ; e^x = 2 donne x = ln(2) ≈ 0,693. L’équation admet donc deux solutions : 0 et ln(2).

Partie 2 — une étude de fonction. Étudie les variations de f(x) = (x - 1)e^x sur ℝ.

Étape 1 — dériver un produit. On pose u = x - 1 (u’ = 1) et v = e^x (v’ = e^x). Alors f’(x) = 1 × e^x + (x - 1) × e^x.

Étape 2 — factoriser. f’(x) = e^x × (1 + x - 1) = x × e^x.

Étape 3 — étudier le signe. Comme e^x > 0, le signe de f’(x) est celui de x : négatif pour x < 0, nul en 0, positif pour x > 0.

Étape 4 — conclure. f est décroissante sur ]-∞ ; 0] puis croissante sur [0 ; +∞[.

Étape 5 — le minimum. f(0) = (0 - 1) × e^0 = -1 × 1 = -1, minimum atteint en x = 0.

Les erreurs classiques

• Écrire e^(a + b) = e^a + e^b. Faux : l’exponentielle transforme la somme en produit, e^(a+b) = e^a × e^b.
• Chercher les valeurs qui annulent l’exponentielle. e^x ne s’annule jamais : dans x × e^x = 0, seul x peut être nul.
• Oublier le u’ dans (e^u)’. La dérivée de e^(3x) est 3e^(3x), pas e^(3x).
• Résoudre e^x = -2. Aucune solution, puisque l’exponentielle est strictement positive.
• Confondre e^(2x) et 2e^x. Le premier vaut (e^x)², le second un simple double.

S’entraîner

Cinq familles d’exercices : simplifier avec les propriétés algébriques, résoudre des équations du type e^A = e^B, dériver des fonctions de la forme e^u ou u × e^v, étudier des variations, puis traiter les limites et croissances comparées. Ajoute les problèmes modélisés, fréquents au bac.

Le chapitre repose sur des automatismes plus que sur des idées compliquées : il faut en faire beaucoup. Sur Yoovi, tu peux générer des exercices sur l’exponentielle à ton niveau et te faire guider quand une factorisation te bloque. Si les règles de dérivation sont fragiles, reprends d’abord les dérivées.

Questions fréquentes

Pourquoi e^x est-elle toujours positive ?

C’est une propriété démontrée en cours : l’exponentielle ne s’annule jamais et vaut 1 en 0, donc elle reste strictement positive sur ℝ. Conséquence : dans un produit, e^x ne change jamais le signe.

Quelle est la différence entre exp(x) et e^x ?

Aucune : ce sont deux notations de la même fonction. L’écriture e^x est pratique pour manipuler les exposants, exp(x) est plus lisible quand l’argument est compliqué, comme exp(-x²/2).

Comment résoudre une équation avec exp ?

Ramène-toi à e^A = e^B, puis identifie A = B. Si l’équation contient e^(2x) et e^x, pose X = e^x pour obtenir un second degré, puis reviens à x en écartant les valeurs négatives ou nulles de X.

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