Suites numériques : arithmétiques et géométriques

Une suite, c’est une liste ordonnée de nombres : u_0, u_1, u_2, u_3… Deux familles reviennent sans arrêt. Dans une suite arithmétique, on ajoute la même raison r, et u_n = u_0 + n × r. Dans une suite géométrique, on multiplie par la même raison q, et u_n = u_0 × q^n. Reconnaître laquelle tu as sous les yeux, c’est 80 % du chapitre.

C’est quoi une suite, et à quoi ça sert ?

Une suite associe un nombre à chaque rang n : le terme se note u_n (lu « u indice n »). Le premier terme est en général u_0, parfois u_1 : lis bien l’énoncé.

Deux situations concrètes :

• Tu mets 50 € de côté chaque mois : tu ajoutes toujours la même somme, suite arithmétique de raison 50.
• Tu places 800 € sur un livret à 3 % par an : la somme est chaque année multipliée par 1,03, suite géométrique de raison 1,03.

L’arithmétique grandit en ligne droite, la géométrique s’emballe : c’est la même opposition qu’entre une fonction affine et la fonction exponentielle.

Les formules : explicite, récurrence, arithmétique, géométrique

Définition explicite. L’énoncé donne u_n en fonction de n, comme u_n = 3n + 2. Tu calcules n’importe quel terme aussitôt : u_0 = 2, u_1 = 5, u_5 = 3 × 5 + 2 = 17.

Définition par récurrence. L’énoncé donne le premier terme et la relation qui mène au suivant, comme u_0 = 2 et u_(n+1) = u_n + 3. Pour obtenir u_5, il faut calculer tous les précédents.

Suite arithmétique. On ajoute la raison r : u_(n+1) = u_n + r.

• Formule explicite : u_n = u_0 + n × r
• Depuis n’importe quel rang p : u_n = u_p + (n - p) × r

Suite géométrique. On multiplie par la raison q : u_(n+1) = u_n × q.

• Formule explicite : u_n = u_0 × q^n
• Depuis n’importe quel rang p : u_n = u_p × q^(n-p)

Reconnaître le type ? Calcule les différences entre termes consécutifs : toutes égales, la suite est arithmétique. Sinon les quotients : tous égaux, elle est géométrique. Ainsi 4 ; 7 ; 10 ; 13 a des différences égales à 3, et 3 ; 6 ; 12 ; 24 des quotients égaux à 2.

Exemple rédigé étape par étape

Énoncé 1 : la suite u est définie par u_0 = 5 et u_(n+1) = u_n + 4. Donne son expression explicite, puis calcule u_12.

Étape 1 — identifier. On ajoute toujours 4 : u est arithmétique de raison r = 4, avec u_0 = 5.

Étape 2 — la formule. u_n = u_0 + n × r = 5 + 4n.

Étape 3 — contrôler. Par récurrence : u_1 = 9 et u_2 = 13. Par la formule : u_1 = 5 + 4 × 1 = 9 et u_2 = 5 + 4 × 2 = 13. C’est cohérent.

Étape 4 — calculer u_12. u_12 = 5 + 4 × 12 = 5 + 48 = 53.

Énoncé 2 : v est définie par v_0 = 3 et v_(n+1) = 2 × v_n. Calcule v_6.

On multiplie toujours par 2 : v est géométrique de raison q = 2. Donc v_n = 3 × 2^n, et v_6 = 3 × 2^6 = 3 × 64 = 192.

Énoncé 3 (le livret) : Théo place 800 € à 3 % par an, intérêts réinvestis. Quel capital après 5 ans ?

Augmenter de 3 %, c’est multiplier par 1,03. La suite des capitaux est géométrique de raison 1,03 avec c_0 = 800, donc c_n = 800 × 1,03^n. Comme 1,03^5 ≈ 1,159274, on obtient c_5 ≈ 927,42 €.

Les erreurs classiques

• Confondre u_(n+1) et u_n + 1. u_(n+1) est le terme suivant ; u_n + 1 est le terme actuel plus 1.
• Se tromper de rang de départ. Si la suite commence à u_1, la formule devient u_n = u_1 + (n - 1) × r.
• Mélanger + et ×. Arithmétique : on ajoute r. Géométrique : on multiplie par q.
• Conclure trop vite. Deux différences égales ne suffisent pas : vérifie sur trois écarts consécutifs.
• Se tromper de raison pour un pourcentage. Une hausse de 3 % donne q = 1,03, pas 0,03 ; une baisse donne q = 0,97.

S’entraîner

Cinq types d’exercices : calculer les premiers termes d’une suite par récurrence, passer à la formule explicite, reconnaître le type d’une suite, calculer un terme de rang élevé, et modéliser une situation concrète. Ajoute le sens de variation et les sommes de termes, très présents au bac.

Ce chapitre récompense la régularité : quelques exercices courts valent mieux qu’une longue séance. Sur Yoovi, tu peux générer des suites à ton niveau et te faire guider quand tu hésites sur la formule. Pour situer ce chapitre dans le programme, consulte notre guide de la spécialité maths.

Questions fréquentes

Comment savoir si une suite est arithmétique ou géométrique ?

Calcule u_(n+1) - u_n : toujours le même nombre, elle est arithmétique. Sinon calcule u_(n+1) / u_n : quotient constant, elle est géométrique. Une suite peut n’être ni l’une ni l’autre, comme u_n = n².

Comment trouver la raison d’une suite arithmétique ?

Soustrais deux termes consécutifs : r = u_(n+1) - u_n. Avec deux termes non consécutifs, utilise u_n = u_p + (n - p) × r. Si u_2 = 7 et u_6 = 19, alors 19 = 7 + 4r, donc 4r = 12 et r = 3.

À quoi sert la formule explicite ?

À calculer directement un terme de rang élevé. Pour u_100 défini par récurrence, il faudrait cent calculs successifs ; avec la formule explicite, un seul suffit.

Envie de savoir si tu reconnais les suites du premier coup d’œil ? Lance un quiz depuis app.yoovi.fr et vois si arithmétique et géométrique sont bien séparées dans ta tête.