Dérivées : formules, méthode et tableau de variations

La dérivée d’une fonction, c’est sa pente en chaque point. Si f’(x) est positive, la fonction monte ; si elle est négative, la fonction descend. Voilà pourquoi la dérivée est l’outil numéro un de la première : elle donne le sens de variation, les extremums et l’équation de la tangente. La formule à graver : (x^n)’ = n × x^(n-1).

C’est quoi une dérivée, et à quoi ça sert ?

Imagine que tu roules en voiture. Ta position à l’instant t est donnée par une fonction ; ta vitesse à cet instant, lue au compteur, c’est la dérivée de la position : une dérivée mesure une vitesse de variation.

Géométriquement, le nombre dérivé f’(a) est le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse a. Une tangente horizontale, c’est f’(a) = 0 : souvent un sommet ou un creux.

D’où le résultat le plus utile du chapitre : le signe de f’ donne le sens de variation de f. Si f’(x) > 0 sur un intervalle, f y est croissante ; si f’(x) < 0, f y est décroissante.

Les formules à connaître

Sur les intervalles où f est définie :

• f(x) = k (constante) → f’(x) = 0
• f(x) = x → f’(x) = 1
• f(x) = x² → f’(x) = 2x
• f(x) = x^n → f’(x) = n × x^(n-1)
• f(x) = 1/x → f’(x) = -1/x²
• f(x) = √x → f’(x) = 1/(2√x), sur ]0 ; +∞[
• f(x) = e^x → f’(x) = e^x

Et les opérations :

• Somme : (u + v)’ = u’ + v’
• Multiple : (k × u)’ = k × u’
• Produit : (u × v)’ = u’ × v + u × v’
• Quotient : (u/v)’ = (u’ × v - u × v’) / v²

L’équation de la tangente en a s’écrit y = f’(a) × (x - a) + f(a).

Exemple de somme : f(x) = 3x² - 5x + 2. Terme par terme : (3x²)’ = 6x, (-5x)’ = -5, (2)’ = 0. Donc f’(x) = 6x - 5.

Exemple de produit : f(x) = (2x + 1)(x² - 3). On pose u = 2x + 1 (u’ = 2) et v = x² - 3 (v’ = 2x). Alors f’(x) = 2 × (x² - 3) + (2x + 1) × 2x = 2x² - 6 + 4x² + 2x = 6x² + 2x - 6. Vérification : en développant, f(x) = 2x³ + x² - 6x - 3, de dérivée 6x² + 2x - 6.

Exemple rédigé étape par étape

Énoncé : soit f(x) = x³ - 3x sur ℝ. Étudie ses variations et donne l’équation de la tangente au point d’abscisse 2.

Étape 1 — dériver. f’(x) = 3x² - 3.

Étape 2 — factoriser. f’(x) = 3(x² - 1) = 3(x - 1)(x + 1) : la dérivée s’annule en x = -1 et x = 1.

Étape 3 — déterminer le signe. Polynôme du second degré de coefficient 3 > 0 : positif à l’extérieur des racines, négatif entre elles. Contrôle : f’(0) = -3 < 0 et f’(2) = 3 × 4 - 3 = 9 > 0.

Étape 4 — calculer les valeurs remarquables. f(-1) = (-1)³ - 3 × (-1) = -1 + 3 = 2. f(1) = 1 - 3 = -2.

Étape 5 — dresser le tableau de variations. f croît sur ]-∞ ; -1], décroît sur [-1 ; 1], puis croît sur [1 ; +∞[. Maximum local égal à 2 en x = -1, minimum local égal à -2 en x = 1.

Étape 6 — la tangente en 2. f(2) = 8 - 6 = 2 et f’(2) = 9. Donc y = 9 × (x - 2) + 2 = 9x - 18 + 2, soit y = 9x - 16.

Les erreurs classiques

• Dériver un produit facteur par facteur. (u × v)’ n’est pas u’ × v’ : il faut u’ × v + u × v’.
• Oublier que la dérivée d’une constante vaut 0. Le « + 2 » de 3x² - 5x + 2 disparaît en dérivant.
• Confondre f et f’. Le tableau affiche le signe de f’ sur une ligne, les valeurs de f sur l’autre.
• Conclure sans étudier le signe. Trouver f’(x) = 0 ne prouve rien : il faut le signe de part et d’autre.
• Se tromper d’exposant. (x^4)’ = 4x³ : on multiplie par l’ancien exposant, moins 1.

S’entraîner

Cinq types d’exercices : dériver un polynôme, un produit, un quotient, écrire l’équation d’une tangente, et dresser un tableau de variations complet. Termine par les problèmes d’optimisation, un grand classique du bac.

Ce qui fait la différence, c’est le nombre de dérivées calculées. Sur Yoovi, tu peux générer des exercices de dérivation à ton niveau et te faire guider quand un signe te bloque. Pour situer ce chapitre dans le programme, lis notre guide de la spécialité maths ; pour l’opération inverse, découvre les primitives.

Questions fréquentes

À quoi sert vraiment la dérivée ?

À deux choses : trouver le sens de variation grâce au signe de f’, et tracer la tangente en un point. C’est ce qui permet de repérer un maximum sans tester des dizaines de valeurs.

Que signifie f’(a) = 0 ?

Que la tangente en a est horizontale. C’est souvent un extremum, mais pas toujours : pour f(x) = x³, f’(0) = 0 alors que la fonction reste croissante. Seul un changement de signe de f’ le garantit.

Comment dériver une fonction comme 5/x ?

Utilise le multiple : 5/x = 5 × (1/x), donc la dérivée vaut 5 × (-1/x²) = -5/x². Inutile de passer par la formule du quotient.

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