Primitives : définition, formules et exemple corrigé

Une primitive, c’est une dérivée à l’envers. F est une primitive de f sur un intervalle I si F’(x) = f(x) pour tout x de I. Autrement dit, on te donne la dérivée et tu dois retrouver la fonction de départ. Bonne nouvelle : tu as déjà tout ce qu’il faut, il suffit de lire ton tableau de dérivées dans l’autre sens — sans oublier la constante + C.

C’est quoi une primitive, et à quoi ça sert ?

Reprends l’image de la voiture. Dériver la position donne la vitesse ; une primitive fait le trajet inverse : tu connais la vitesse et tu retrouves la position. Même logique pour un robinet, où le débit est la dérivée du volume.

D’où la constante. Si tu connais seulement la vitesse, tu sais de combien la voiture a avancé, mais pas où elle se trouve : il manque le point de départ, la fameuse constante C.

Formellement : si F est une primitive de f sur I, toutes les primitives de f s’écrivent F(x) + C. Il faut donc une condition du type « F(1) = 2 » pour en fixer une. Retiens aussi que toute fonction continue sur un intervalle y admet des primitives.

Les formules à connaître

Retourne le tableau des dérivées, avec C un réel quelconque :

• f(x) = k (constante) → F(x) = kx + C
• f(x) = x → F(x) = x²/2 + C
• f(x) = x² → F(x) = x³/3 + C
• f(x) = x^n (n entier, n ≠ -1) → F(x) = x^(n+1)/(n + 1) + C
• f(x) = 1/x² → F(x) = -1/x + C, sur ]0 ; +∞[ ou ]-∞ ; 0[
• f(x) = 1/√x → F(x) = 2√x + C, sur ]0 ; +∞[
• f(x) = 1/x → F(x) = ln(x) + C, sur ]0 ; +∞[
• f(x) = e^x → F(x) = e^x + C
• f(x) = cos(x) → F(x) = sin(x) + C
• f(x) = sin(x) → F(x) = -cos(x) + C

Deux règles : une primitive de u + v est F + G, et une primitive de k × u est k × F. Il n’existe en revanche aucune règle pour un produit ou un quotient.

Une forme composée revient tout le temps : f(x) = e^(ax + b) a pour primitive F(x) = (1/a) × e^(ax + b) + C. Une primitive de e^(2x) est donc (1/2) × e^(2x), puisque sa dérivée vaut (1/2) × 2 × e^(2x) = e^(2x).

Exemple rédigé étape par étape

Énoncé : soit f(x) = 3x² + 4x - 5 sur ℝ. Détermine la primitive F de f telle que F(1) = 2.

Étape 1 — terme par terme. Une primitive de 3x² est 3 × (x³/3) = x³ ; de 4x, 4 × (x²/2) = 2x² ; de -5, -5x.

Étape 2 — écrire la forme générale. F(x) = x³ + 2x² - 5x + C.

Étape 3 — vérifier en dérivant. (x³)’ = 3x², (2x²)’ = 4x, (-5x)’ = -5 et (C)’ = 0. On retrouve bien F’(x) = 3x² + 4x - 5 = f(x).

Étape 4 — utiliser la condition. F(1) = 1 + 2 - 5 + C = -2 + C. On veut F(1) = 2, donc -2 + C = 2, d’où C = 4.

Étape 5 — conclure. F(x) = x³ + 2x² - 5x + 4, et F(1) = 1 + 2 - 5 + 4 = 2 : c’est la valeur demandée.

Deuxième exemple : g(x) = 4x³ - 1/x² sur ]0 ; +∞[. Une primitive de 4x³ est 4 × (x⁴/4) = x⁴. Une primitive de 1/x² est -1/x, donc une primitive de -1/x² est +1/x. Ainsi G(x) = x⁴ + 1/x + C. Vérification : (x⁴)’ = 4x³ et (1/x)’ = -1/x², donc G’(x) = 4x³ - 1/x² = g(x).

Les erreurs classiques

• Oublier le + C. Sans lui, tu ne donnes qu’une primitive parmi une infinité : perte de point quasi automatique.
• Diviser au lieu d’augmenter l’exposant. Pour primitiver x^n, on augmente l’exposant de 1 puis on divise par le nouvel exposant : x^5 devient x^6/6.
• Inventer une règle pour le produit. Une primitive de x × e^x n’est pas (x²/2) × e^x.
• Ignorer l’intervalle. ln(x) n’est une primitive de 1/x que sur ]0 ; +∞[ ; sur ]-∞ ; 0[, c’est ln(-x).
• Ne pas vérifier. Dérive ton résultat : tu dois retomber exactement sur f.

S’entraîner

Quatre types d’exercices : primitiver un polynôme, primitiver une fonction avec 1/x, 1/x², √x ou e^x, déterminer la primitive vérifiant une condition initiale, et reconnaître une forme composée comme e^(ax + b). Viennent ensuite les intégrales, des primitives évaluées entre deux bornes.

Prends l’habitude de dériver ta réponse : en dix secondes, tu sais si elle est juste. Sur Yoovi, tu peux générer des exercices de primitives à ton niveau et te faire guider quand une forme te résiste. Pour organiser ton année, va voir notre guide pour réviser le bac.

Questions fréquentes

Pourquoi ajoute-t-on toujours une constante ?

Parce que la dérivée d’une constante vaut 0 : x³ + 2 et x³ + 7 ont la même dérivée. Une fonction a donc une infinité de primitives ; une condition initiale permet d’en choisir une.

Comment être sûr de son résultat ?

Dérive ta primitive : si tu retombes sur la fonction de départ, c’est juste, sans exception. C’est le meilleur réflexe du chapitre.

Quelle différence entre primitive et intégrale ?

Une primitive est une fonction, une intégrale est un nombre. Si F est une primitive de f, l’intégrale de f entre a et b vaut F(b) - F(a). La constante C disparaît dans la soustraction.

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