Fonctions en maths : image, antécédent et fonction affine

Une fonction, c’est une machine : tu entres un nombre, elle en ressort un autre. Si f(x) = 3x - 2 et que tu entres 4, elle ressort 3 × 4 - 2 = 10. On dit que 10 est l’image de 4, et que 4 est un antécédent de 10. Tout le chapitre tourne autour de ce va-et-vient. Voici la méthode, la lecture graphique et les fonctions affines f(x) = ax + b.

C’est quoi une fonction, et à quoi ça sert ?

Imagine un distributeur automatique : tu appuies sur une touche (l’entrée), il sort un produit précis (la sortie). Une fonction fonctionne pareil : à chaque nombre de départ, elle associe un seul nombre d’arrivée.

L’écriture f(x) = 3x - 2 se lit « f de x est égal à 3x moins 2 » : je prends un nombre, je le multiplie par 3, puis j’enlève 2.

Un exemple concret : un taxi facture 4 € de prise en charge, puis 1,50 € par kilomètre. Le prix pour x kilomètres est f(x) = 1,5x + 4. Pour 10 km, tu paies f(10) = 1,5 × 10 + 4 = 15 + 4 = 19 €. Les fonctions modélisent toutes les situations où une grandeur dépend d’une autre.

La méthode : image, antécédent, lecture graphique

Calculer une image, c’est remplacer. L’image de 5 par f(x) = 3x - 2 vaut f(5) = 3 × 5 - 2 = 15 - 2 = 13. Un nombre de départ n’a qu’une seule image.

Chercher un antécédent, c’est résoudre une équation. Pour l’antécédent de 7 par f(x) = 3x - 2, tu écris 3x - 2 = 7, puis 3x = 9 et x = 3 : toute la méthode de résolution d’équation sert ici. Un nombre peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun.

Sur un graphique, même distinction : pour l’image de 3, tu pars de 3 sur l’axe horizontal, tu montes jusqu’à la courbe et tu lis à gauche. Pour les antécédents de 5, tu pars de 5 sur l’axe vertical, tu vas jusqu’à la courbe (parfois en plusieurs points !), puis tu descends lire les x.

Les fonctions affines

Une fonction affine s’écrit f(x) = ax + b, et sa représentation graphique est toujours une droite.

• a est le coefficient directeur, la pente. Si a > 0 la droite monte, si a < 0 elle descend. Quand x augmente de 1, f(x) varie de a.
• b est l’ordonnée à l’origine : c’est f(0), le point où la droite coupe l’axe vertical.

Pour retrouver a à partir de deux points : a = (f(x₂) - f(x₁)) / (x₂ - x₁).

Exemple rédigé étape par étape

Énoncé : f est une fonction affine telle que f(2) = 5 et f(6) = 13. Détermine son expression, puis calcule f(10) et l’antécédent de 21.

Étape 1 — poser la forme. f est affine, donc f(x) = ax + b : il faut trouver a et b.

Étape 2 — calculer le coefficient directeur. a = (13 - 5) / (6 - 2) = 8 / 4 = 2.

Étape 3 — trouver l’ordonnée à l’origine. On utilise f(2) = 5 : 2 × 2 + b = 5, donc 4 + b = 5 et b = 1.

Étape 4 — conclure et vérifier. f(x) = 2x + 1. Contrôle : f(6) = 2 × 6 + 1 = 13, la valeur de l’énoncé.

Étape 5 — calculer une image. f(10) = 2 × 10 + 1 = 21.

Étape 6 — chercher un antécédent. On résout 2x + 1 = 21, donc 2x = 20 et x = 10. L’antécédent de 21 est 10, cohérent avec l’étape précédente.

Retour au taxi : avec f(x) = 1,5x + 4, combien de kilomètres pour 25 € ? On résout 1,5x + 4 = 25, donc 1,5x = 21 et x = 14. La course fait 14 km.

Les erreurs classiques

• Confondre image et antécédent. L’image, on la calcule en remplaçant x. L’antécédent, on le cherche en résolvant une équation.
• Croire que f(x) est une multiplication. f(3) ne veut pas dire « f fois 3 » : c’est le nom de l’image de 3.
• Oublier qu’un nombre peut avoir plusieurs antécédents. Sur une courbe en U, une même hauteur est atteinte deux fois.
• Inverser le calcul du coefficient directeur. C’est la variation de f(x) divisée par la variation de x, pas l’inverse.
• Confondre a et b. b se lit sur l’axe vertical, a se calcule comme une pente.

S’entraîner

Quatre types d’exercices : calculer des images, chercher des antécédents en résolvant une équation, lire images et antécédents sur un graphique, et déterminer une fonction affine à partir de deux points. Ajoute les problèmes de tarifs où il faut comparer deux formules.

Ce chapitre est une porte d’entrée : tout le lycée s’appuie dessus, jusqu’à la fonction exponentielle en terminale. Pour repérer ce qui coince, Yoovi génère des quiz sur ce chapitre et t’explique le raisonnement pas à pas.

Questions fréquentes

Comment reconnaître une fonction affine ?

Regarde son expression : elle doit s’écrire ax + b, avec x à la puissance 1 uniquement. Graphiquement, sa représentation est une droite — si la courbe n’est pas droite, la fonction n’est pas affine.

Quelle différence entre fonction affine et fonction linéaire ?

Une fonction linéaire est une fonction affine particulière, celle où b = 0 : f(x) = ax. Sa droite passe par l’origine et traduit une situation de proportionnalité.

Comment savoir si une courbe représente une fonction ?

Chaque valeur de x ne doit donner qu’un seul point. Si une droite verticale coupe la courbe en deux endroits, ce n’est pas une fonction, puisqu’un même nombre aurait deux images.

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