Théorème de Pythagore : cours simple et exemples corrigés

Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés : c’est le théorème de Pythagore, résumé par la formule a² + b² = c². Grâce à lui, tu peux calculer une longueur inconnue dans n’importe quel triangle rectangle. Et grâce à sa réciproque, tu peux prouver qu’un angle est droit. Dans cet article : l’énoncé clair, la méthode dans les deux sens, un exemple entièrement rédigé et les pièges qui coûtent des points.

C’est quoi, le théorème de Pythagore ?

Un triangle rectangle, c’est un triangle qui possède un angle droit (90°). Son côté le plus long s’appelle l’hypoténuse : c’est toujours le côté situé en face de l’angle droit.

Le théorème de Pythagore dit ceci : si un triangle ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC². Autrement dit, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux côtés de l’angle droit.

À quoi ça sert dans la vraie vie ? Les maçons l’utilisent pour vérifier qu’un angle de mur est bien droit avec la fameuse règle du 3-4-5 (3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5²). C’est aussi lui qui se cache derrière la diagonale d’un écran de télé ou la hauteur atteinte par une échelle posée contre un mur.

La méthode : les deux sens de calcul (et la réciproque)

Sens 1 : calculer l’hypoténuse. Tu connais les deux côtés de l’angle droit. Tu additionnes leurs carrés, puis tu prends la racine carrée du résultat.

Sens 2 : calculer un côté de l’angle droit. Tu connais l’hypoténuse et un côté. Cette fois, tu soustrais : côté² = hypoténuse² - autre côté². Puis racine carrée.

Dans les deux cas, la rédaction commence pareil : « Le triangle est rectangle en …, donc d’après le théorème de Pythagore : … »

La réciproque de Pythagore

La réciproque fonctionne dans l’autre sens : si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle est rectangle. Exemple avec un triangle de côtés 5, 12 et 13 : on calcule séparément 13² = 169, puis 5² + 12² = 25 + 144 = 169. Les deux résultats sont égaux, donc le triangle est rectangle, et l’angle droit se trouve en face du côté de 13. Si les deux calculs donnent des résultats différents, le triangle n’est pas rectangle.

Exemple rédigé étape par étape

Énoncé : ABC est un triangle rectangle en A, avec AB = 6 cm et AC = 8 cm. Calculer BC.

Étape 1 — repérer l’hypoténuse. L’angle droit est en A, donc l’hypoténuse est BC, le côté d’en face : c’est lui qu’on cherche.

Étape 2 — écrire l’égalité. Le triangle ABC est rectangle en A, donc d’après le théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC².

Étape 3 — remplacer et calculer. BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.

Étape 4 — conclure avec la racine carrée. BC = √100 = 10. La longueur BC vaut 10 cm.

Variante dans l’autre sens : DEF est rectangle en E, avec DF = 13 cm (l’hypoténuse) et DE = 5 cm. Alors DF² = DE² + EF², donc EF² = DF² - DE² = 169 - 25 = 144, et EF = √144 = 12 cm.

Les erreurs classiques

• Utiliser Pythagore sans triangle rectangle : le théorème ne s’applique que si l’énoncé (ou un codage sur la figure) garantit l’angle droit.
• Se tromper d’hypoténuse : c’est toujours le plus grand côté, celui qui fait face à l’angle droit — jamais un côté qui touche l’angle droit.
• Oublier la racine carrée et répondre « BC = 100 » au lieu de 10. Un ordre de grandeur absurde doit t’alerter.
• Additionner les longueurs au lieu de leurs carrés : 6 + 8 = 14, ce qui n’a rien à voir avec le bon résultat (10).
• Confondre théorème et réciproque dans la rédaction : le théorème part d’un triangle rectangle pour calculer, la réciproque sert à prouver qu’il l’est.

S’entraîner

Pour être au point, tu dois savoir enchaîner trois types d’exercices : calculer une hypoténuse, calculer un côté de l’angle droit, et utiliser la réciproque pour démontrer qu’un triangle est rectangle. Ajoute les problèmes concrets (échelle, diagonale, distance) où c’est à toi de repérer le triangle rectangle.

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Questions fréquentes

Comment reconnaître l’hypoténuse ?

C’est le côté situé en face de l’angle droit, et c’est toujours le plus long des trois. Si ton calcul donne une hypoténuse plus courte qu’un autre côté, il y a une erreur quelque part.

Le théorème de Pythagore marche-t-il dans tous les triangles ?

Non. L’égalité a² + b² = c² n’est vraie que dans les triangles rectangles. Dans les autres, elle est fausse — et c’est justement ce qui rend la réciproque utile pour tester un angle droit.

Quelle différence entre le théorème et sa réciproque ?

Le théorème : « le triangle est rectangle, donc l’égalité est vraie » — il sert à calculer une longueur. La réciproque : « l’égalité est vraie, donc le triangle est rectangle » — elle sert à prouver qu’un angle est droit.

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