Probabilités : cours simple, formules et arbres corrigés

Une probabilité mesure la chance qu’un événement se produise. C’est toujours un nombre compris entre 0 et 1 : 0 pour un événement impossible, 1 pour un événement certain. Quand toutes les issues ont la même chance, une seule formule suffit : P(A) = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles. Le reste, ce sont les arbres, qui organisent les expériences à plusieurs étapes.

C’est quoi une probabilité, et à quoi ça sert ?

Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat : lancer un dé, tirer une carte, faire tourner une roue.

Chaque résultat possible s’appelle une issue : pour un dé à 6 faces, les issues 1 à 6 forment l’univers. Un événement est un regroupement d’issues : « obtenir un nombre pair » rassemble 2, 4 et 6. L’événement contraire de A regroupe les issues qui ne sont pas dans A.

Les probabilités servent partout : assurances, météo (« 70 % de risque de pluie »), contrôle qualité, médecine. Elles apprennent à raisonner sur l’incertain plutôt qu’à se fier à son intuition.

Les règles et la formule

Trois règles à retenir :

1. Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.
2. La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1.
3. P(non A) = 1 - P(A) : le raccourci le plus rentable du chapitre.

En situation d’équiprobabilité, quand toutes les issues ont la même chance :

P(A) = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles

Avec un dé équilibré à 6 faces :

• P(obtenir 4) = 1/6 : une seule face convient sur six.
• P(obtenir un nombre pair) = 3/6 = 1/2 : 2, 4 et 6 conviennent.
• P(obtenir plus de 4) = 2/6 = 1/3 : seuls 5 et 6 conviennent.

Avec un jeu de 32 cartes :

• P(tirer un cœur) = 8/32 = 1/4 : il y a 8 cartes par couleur.
• P(tirer un roi) = 4/32 = 1/8 : un roi par couleur.
• P(tirer le roi de cœur) = 1/32, et P(ne pas tirer un roi) = 1 - 1/8 = 7/8.

Une probabilité se donne en fraction, en décimal ou en pourcentage : 1/4 = 0,25 = 25 %. Si la conversion te fait hésiter, revois comment calculer un pourcentage.

Les arbres de probabilité

Dès qu’une expérience comporte plusieurs étapes, on construit un arbre, une branche par issue. Deux règles suffisent : on multiplie le long d’un chemin, on additionne les chemins qui réalisent l’événement cherché. Contrôle imparable : la somme de tous les chemins vaut 1.

Exemple rédigé étape par étape

Énoncé : un sac contient 3 boules rouges et 2 boules vertes indiscernables. On tire une boule, on note sa couleur, on la remet, puis on tire une seconde boule. Calcule P(deux rouges), P(exactement une rouge) et P(au moins une rouge).

Étape 1 — un tirage. Le sac contient 5 boules : P(rouge) = 3/5 et P(verte) = 2/5. Comme on remet la boule, ces valeurs valent pour les deux tirages.

Étape 2 — l’arbre. Quatre chemins : rouge-rouge, rouge-verte, verte-rouge, verte-verte.

Étape 3 — multiplier le long de chaque chemin.

• P(rouge puis rouge) = 3/5 × 3/5 = 9/25
• P(rouge puis verte) = 3/5 × 2/5 = 6/25
• P(verte puis rouge) = 2/5 × 3/5 = 6/25
• P(verte puis verte) = 2/5 × 2/5 = 4/25

Étape 4 — vérifier. 9/25 + 6/25 + 6/25 + 4/25 = 25/25 = 1. L’arbre est complet.

Étape 5 — répondre. Deux rouges : 9/25, soit 0,36. Exactement une rouge : deux chemins conviennent, 6/25 + 6/25 = 12/25, soit 0,48.

Étape 6 — l’événement contraire. Pour « au moins une rouge », le contraire est « deux vertes ». Donc P = 1 - 4/25 = 21/25, soit 0,84 : plus rapide que d’additionner trois chemins.

Les erreurs classiques

• Donner une probabilité supérieure à 1 (ou négative). Un résultat comme 5/4 signale une erreur de comptage.
• Additionner le long d’une branche. On multiplie le long d’un chemin, on additionne entre chemins.
• Oublier la différence entre tirage avec et sans remise. Sans remise, il ne reste que 4 boules au second tirage.
• Supposer l’équiprobabilité sans vérifier. La formule exige que toutes les issues aient la même chance : faux pour un dé pipé.
• Confondre fréquence et probabilité. Obtenir 7 fois pile sur 10 lancers ne rend pas la pièce truquée.

S’entraîner

Cinq types d’exercices : calculer une probabilité par cas favorables, utiliser l’événement contraire, construire un arbre à deux étapes avec remise, puis sans remise, et lire un tableau à double entrée. Ajoute ceux où il faut justifier qu’une situation est équiprobable.

Aux examens, les probabilités sont presque toujours présentes, et rentables : elles demandent de la rigueur plus que de l’astuce. Entraîne-toi avec un brevet blanc de maths ; pour cibler tes fragilités, Yoovi génère des quiz sur ce chapitre en te guidant à chaque étape.

Questions fréquentes

Une probabilité peut-elle valoir 0 ou 1 ?

Oui. Une probabilité de 0 correspond à un événement impossible, comme obtenir 7 avec un dé à 6 faces ; une probabilité de 1 à un événement certain, comme obtenir moins de 7.

Comment savoir s’il faut multiplier ou additionner ?

Regarde ton arbre. Si tu suis un chemin de gauche à droite (« puis »), tu multiplies. Si tu combines plusieurs chemins qui conviennent (« ou »), tu additionnes.

Quelle différence entre avec remise et sans remise ?

Avec remise, le sac est identique à chaque tirage et les probabilités ne changent pas. Sans remise, il y a une boule de moins et le second tirage dépend du premier. Repère ce détail avant de dessiner l’arbre.

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