Identité remarquable : les 3 formules et comment s'en servir

Trois formules, et une bonne partie du calcul littéral devient mécanique : (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b² et (a + b)(a − b) = a² − b². Elles servent dans les deux sens — développer une expression pour la simplifier, ou la factoriser pour résoudre une équation. Voici d’où elles viennent, comment les reconnaître dans un exercice, des exemples corrigés et les erreurs qui reviennent le plus souvent.

C’est quoi une identité remarquable, à quoi ça sert ?

Une identité, c’est une égalité vraie quelles que soient les valeurs des lettres. « Remarquable » signifie simplement qu’on la rencontre si souvent qu’on la retient une fois pour toutes, au lieu de refaire le calcul à chaque exercice.

Elles servent à deux choses opposées :

• Développer : transformer un produit en somme, pour simplifier ou comparer deux expressions.
• Factoriser : transformer une somme en produit, pour résoudre une équation ou simplifier une fraction. C’est le sens le plus utile, et le plus difficile.

Les 3 formules et d’où elles viennent

Formule 1 : (a + b)² = a² + 2ab + b² Formule 2 : (a − b)² = a² − 2ab + b² Formule 3 : (a + b)(a − b) = a² − b²

La première n’a rien de magique : elle se démontre avec la double distributivité, celle que tu connais déjà.

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a × a + a × b + b × a + b × b = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²

Le fameux « 2ab » vient de là : le produit a × b apparaît deux fois. La deuxième formule se démontre exactement pareil, avec les signes qui changent. Pour la troisième : (a + b)(a − b) = a² − ab + ba − b² = a² − b², car −ab et +ab s’annulent.

Astuce de mémorisation. Retiens que le carré d’une somme donne trois termes : le carré du premier, le double produit, le carré du second. Et que le produit d’une somme par une différence n’en donne que deux : les termes croisés disparaissent. Si tu as un doute, teste avec des nombres : (3 + 4)² = 49, et 3² + 2 × 3 × 4 + 4² = 9 + 24 + 16 = 49. Ça marche.

Exemples rédigés

Développer avec la formule 1. (x + 3)² = x² + 2 × x × 3 + 3² = x² + 6x + 9

Développer avec la formule 2. (2x − 5)² = (2x)² − 2 × 2x × 5 + 5² = 4x² − 20x + 25 Attention à bien élever 2x au carré en entier : (2x)² = 4x², pas 2x².

Développer avec la formule 3. (3x + 7)(3x − 7) = (3x)² − 7² = 9x² − 49

Factoriser une différence de carrés. x² − 25 = x² − 5² = (x + 5)(x − 5)

Factoriser un carré parfait. 4x² − 12x + 9. On repère 4x² = (2x)² et 9 = 3². Le double produit vaudrait 2 × 2x × 3 = 12x, et il est bien là avec un signe moins : l’expression vaut (2x − 3)².

Application à une équation. x² − 9 = 0 devient (x + 3)(x − 3) = 0. Un produit est nul quand l’un de ses facteurs l’est, donc x = −3 ou x = 3. C’est le pont direct avec la résolution d’équations.

Bonus calcul mental. 101² = (100 + 1)² = 10 000 + 200 + 1 = 10 201. Et 102 × 98 = (100 + 2)(100 − 2) = 10 000 − 4 = 9 996.

Les erreurs classiques

• Écrire (a + b)² = a² + b². C’est l’erreur numéro un. Contre-exemple imparable : (3 + 4)² = 7² = 49, alors que 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
• Oublier le facteur 2 du double produit, ou oublier d’y inclure le coefficient : dans (2x − 5)², le double produit est 2 × 2x × 5 = 20x, pas 10x.
• Mal élever un coefficient au carré : (3x)² = 9x², et non 3x².
• Se tromper de signe dans la formule 2 : le double produit est négatif, mais le b² reste positif, car un carré ne peut pas être négatif.
• Vouloir factoriser une somme de carrés. x² + 16 ne se factorise pas avec ces formules : seule la différence de deux carrés se factorise.
• Ne pas reconnaître la forme parce que les termes ne sont pas dans l’ordre : 25 − x² est bien une différence de carrés, égale à (5 + x)(5 − x).

S’entraîner

Travaille les deux sens séparément. Pour le développement, l’entraînement est mécanique : dix expressions à la suite, en écrivant systématiquement la ligne intermédiaire. Pour la factorisation, l’exercice est différent : avant de calculer, entraîne-toi à reconnaître la forme. Devant une expression à trois termes, demande-toi si le premier et le dernier sont des carrés, puis vérifie le double produit. Devant deux termes séparés par un moins, pense immédiatement à la formule 3.

Ces identités tombent presque chaque année au brevet dans les exercices de calcul littéral, souvent couplées à une équation : entraîne-toi sur des sujets complets avec notre guide du brevet de maths.

Questions fréquentes

Combien y a-t-il d’identités remarquables à connaître ?

Trois au collège et au lycée : le carré d’une somme, le carré d’une différence et le produit d’une somme par une différence. Les deux premières sont en réalité la même, au signe près. En terminale, tu croiseras des versions plus longues, comme le cube d’une somme, mais elles se redémontrent à partir de celles-ci.

Comment savoir s’il faut développer ou factoriser ?

Regarde ce que demande la suite de l’exercice. Pour comparer deux expressions, calculer une valeur ou simplifier une somme, on développe. Pour résoudre une équation du type « expression = 0 » ou simplifier une fraction, on factorise, car c’est un produit qui permet de conclure.

Faut-il apprendre les formules par cœur ?

Oui, elles doivent être immédiates : en contrôle, tu n’as pas le temps de refaire la double distributivité. Mais sache la retrouver en trente secondes, c’est ta sécurité en cas de trou de mémoire.

Envie de vérifier que tu reconnais les trois formes du premier coup d’œil ? Lance un quiz de calcul littéral sur app.yoovi.fr et laisse-toi guider sur les questions ratées.